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倚天剑

青春要在奔跑中度过

 
 
 

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平面几何中三角的全部定理定义公理  

2013-10-01 10:30:59|  分类: 学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一、线与角

1、两点之间,线段最短

2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线

3、对顶角相等;同角的余角(或补角)相等;等角的余角(或补角)相等

4、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直

5、(1)经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行

(2)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行

6、平行线的判定:

(1)同位角相等,两直线平行(2)内错角相等,两直线平行(3)同旁内角互补,两直线平行

7、平行线的特征:

(1)两直线平行,同位角相等(2)两直线平行,内错角相等(3)两直线平行,同旁内角互补

8、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

9、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

二、三角形、多边形

10、三角形中的有关公理、定理:

(1)三角形外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角③三角形的外角和等于360°

(2)三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°

(3)三角形的任何两边的和大于第三边

(4)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半

11、多边形中的有关公理、定理:

(1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于( n-2)×180°

(2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都为360°

(3)欧拉公式:顶点数 + 面数-棱数=2

1 2、如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分

13、等腰三角形中的有关公理、定理:

(1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)

(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)

(3)等腰三角形的“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“三线合一”

(4)等边三角形的各个内角都相等,并且每一个内角都等于60°

(5)三边都相等的三角形叫做等边三角形;有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形;

三个角都相等的三角形是等边三角形

14、直角三角形的有关公理、定理:

(1)直角三角形的两个锐角互余

(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

(3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

三、特殊四边形

15、平行四边形的性质:

(1)平行四边形的对边平行且相等(2)平行四边形的对角相等(3)平行四边形的对角线互相平分.

16、平行四边形的判定:

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、平行线之间的距离处处相等

18、矩形的性质:

(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等且互相平分

19、矩形的判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形

20、菱形的性质:

(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角

21、菱形的判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形

22、正方形的性质:

(1)正方形的四个角都是直角(2)正方形的四条边都相等

(3)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角

23、正方形的判定:

(1)有一个角是直角的菱形是正方形

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形

(3)两条对角线垂直的矩形是正方形

(4)两条对角线相等的菱形是正方形

梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

24、等腰梯形的判定:

(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质:

(1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

(2)等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边,并且等于两底和的一半

四、相似形与全等形

27、相似多边形的性质:

(1)相似多边形的对应边成比例(2)相似多边形的对应角相等

(3)相似多边形周长的比等于相似比

(4)相似多边形的面积比等于相似比的平方

(5)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;相似三角形对应高的比,对应中线的比,都等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方

28、相似三角形的判定:

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似

(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似

29、全等多边形的对应边、对应角分别相等

30、全等三角形的判定:

(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等(S.S.S.)

(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等(S.A.S.)

(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等(A.S.A.)

(4)有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(A.A.S.)

(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等(H.L.)

五、圆

31、(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;(2)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角);

(3)90°的圆周角所对的弦是圆的直径

32、在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等

33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆

34、(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)圆的切线垂直于过切点的半径

35、从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角

36、圆的内接四边形对角互补,外角等于内对角

37、垂径定理及推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

六、变换

37、轴对称:(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(2)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段(或延长线)相交,交点一定在对称轴上;(3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段(或延长线)相交,交点一定在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

38、平移:(1)平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等);(2)对应线段平行且相等(或在同一直线上),对应角相等;(3)经过平移,两个对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.

39、旋转:(1)旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)(3)经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等

40、中心对称:(1)关于中心对称的两个图形是全等形;(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心;(3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

41、位似:(1)如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比;(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

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